Descriere

In prima sectiune a capitolului intai sunt prezentate
rezultate generale ale teoriei categoriilor. In sectiunea a doua a
primului capitol este data o versiune a teoremei lui Gabriel-
Popescu.

Teorema Gabriel-Popescu arata apropierea unei categorii
Grothendieck fata de o categorie de module. Reamintim ca
pentru teorema Gabriel-Popescu se cunosc 3 demonstratii pana
in prezent.

Prima e data de Gabriel-Popescu in C.R.Acad.Sci.Paris, a
doua demonstratie este data de M.Takeuchi in anul 1971 si a
treia demonstratie este data de B.Mitchell, demonstratie ce se
bazeaza pe un rezultat dat de Grothendieck A. in Tohöku
Math.(1971). In lucrarea lui Grothendieck se demonstreaza
direct ca o categorie Grothendieck are suficiente obiecte
injective. Bazat pe acest rezultat, Mitchell prezinta o
demonstratie foarte scurta. Demonstratiile precedente nu
folosesc acest rezultat, dar in schimb acesta devine o
consecinta a teoremei lui Gabriel-Popescu.

In capitolul al doilea sunt prezentate rezultate clasice de
algebra omologica (module proiective si injective, rezolutii
proiective si injective, constructia functorilor derivati). Aceste rezultate sunt utilizate in capitolul urmator pentru a defini si
studia proprietatile coomologiei Hochschild ale unei algebre
peste un corp cu coeficienti intr-un bimodul. Cu ajutorul
coomologiei Hochschild se definesc algebrele separabile ca
fiind acele algebre de dimensiune Hochschild zero. Sunt
prezentate pe scurt proprietatile acestora cum ar fi spre
exemplu teorema Zelinsky, in care se demonstreaza ca orice
algebra separabila este finit dimensionala.

In partea a doua a tezei se studiaza proprietati omologice
ale categoriilor K − liniare asemanatoare celor prezentate
pentru cazul algebrelor asociative. Categoriile K − liniare pot fi
privite ca generalizari naturale ale algebrelor asociative
(algebrele asociative sunt categorii K − liniare cu un singur
obiect). Aceste categorii joaca un rol extrem de important in
numeroase domenii ale matematicii si ale fizicii-matematice.
Spre exemplu, categoriile K − liniare sunt importante in teoria
reprezentarilor algebrelor finit dimensionale.

In capitolul al patrulea sunt prezentate notiunile
fundamentale ale teoriei categoriilor K − liniare (categoria
(bi)modulelor peste o categorie K − liniara), precum si unele
constructii necesare in demonstrarea rezultatelor noastre. Din
punct de vedere omologic, categoriile K − liniare si algebrele
asociative au proprietati asemanatoare, foarte important fiind
faptul ca pentru orice categorie K − liniara categoria ei de
module este abeliana si are suficiente obiecte proiective si
injective. Acest lucru ne permite sa aplicam teoria functorilor derivati definiti pe categorii de module asociate unei categorii
K − liniare. In particular se poate defini o teorie de coomologie
analoga coomologiei Hochschild si care in acest caz poarta
numele de coomologia Hochschild-Mitchell.

In capitolul al cincilea sunt introduse, prin analogie cu
cazul algebrelor asociative, categoriile K − liniare separabile.
Prin definitie o categorie K − liniara este separabila daca
coomologia sa Hochschild este triviala in grad pozitiv. Tot aici
prezentam o serie de caracterizari echivalente ale categoriilor
K − liniare (Teorema 5.1) si demonstram una dintre
proprietatile importante ale acestora si anume ca ele sunt
categorii local finite (analogul Teoremei Zelinsky pentru
categorii K − liniare). Ca aplicatii ale celor doua rezultate
amintite sunt studiate conditii necesare si suficiente pentru ca
liniarizata unui grupoid si a unei categorii delta sa fie
separabila. In cazul grupoizilor se obtine o caracterizare a
separabilitatii de tip Maschke iar in cazul unei categorii delta
separabilitatea este echivalenta cu faptul ca aceasta categorie
este discreta.